Calcolo Esempi

$y = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = e^{3 x} - 6 e^{x}$ come funzione.

$f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta $- 6 e^{x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$3 e^{3 x} = 6 e^{x}$

Passaggio 6.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Passaggio 6.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi $\ln (3 e^{3 x})$ come $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Passaggio 6.4.2

Espandi $\ln (e^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (6 e^{x})$

Passaggio 6.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (6 e^{x})$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6 e^{x})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $\ln (6 e^{x})$ come $\ln (6) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + \ln (e^{x})$

Passaggio 6.5.2

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \ln (e)$

Passaggio 6.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \cdot 1$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x$

Passaggio 6.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (3) - \ln (6) = - 3 x + x$

Passaggio 6.7

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{6}) = - 3 x + x$

Passaggio 6.8

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\ln (\frac{3 (1)}{6}) = - 3 x + x$

Passaggio 6.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Passaggio 6.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Passaggio 6.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{1}{2}) = - 3 x + x$

Passaggio 6.9

Somma $- 3 x$ e $x$ .

$\ln (\frac{1}{2}) = - 2 x$

Passaggio 6.10

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.11

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Passaggio 6.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Passaggio 6.11.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Passaggio 6.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{3 (- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.6

Semplifica $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$9 {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.9

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.10

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.10.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Passaggio 10.11

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}))}$

Passaggio 10.12

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 10.13

Semplifica $- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})}$

Passaggio 10.14

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 10.15

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.15.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Passaggio 10.15.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 10.15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 10.16

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$y = - (\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 12.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 12.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = - \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 12.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ nell'espressione.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.1.2

Semplifica $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.2

Semplifica $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.5

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.6.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Passaggio 12.3.1.7

Semplifica $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1})}$

Passaggio 12.3.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}$

Passaggio 12.3.1.9

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 12.3.2

La risposta finale è $2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}, 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$ è un minimo locale

Passaggio 14