Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{3})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{3}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} (\cos (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (x + \frac{π}{3})$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\cos (x + \frac{π}{3}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Passaggio 2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (x + \frac{π}{3})$ .

$\frac{3 \cdot \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{3}]$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ per $1$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (x + \frac{π}{3}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\frac{3}{2}$ e $\sin (x + \frac{π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{3}))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $\frac{π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (x + \frac{π}{3})}{2}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = 0$

Passaggio 5

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x + \frac{π}{3}) = 0$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{3})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Dividi $\cos (x + \frac{π}{3})$ per $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$\cos (x + \frac{π}{3}) = 0$

Passaggio 6.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.4.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.4.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Passaggio 6.4.6.3

Sottrai $2 π$ da $3 π$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.6.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.6.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.6.2.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.6.2.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.6.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.6.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.6.2.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.6.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 6.6.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Passaggio 6.6.2.6.3

Sottrai $2 π$ da $9 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 6.7

La soluzione dell'equazione $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Passaggio 8.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Passaggio 8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Passaggio 8.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Passaggio 8.1.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{6})}{2}$

Passaggio 8.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (π)}{6})}{2}$

Passaggio 8.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 8.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 8.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 8.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{2}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 9

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 10.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 10.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Passaggio 10.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Passaggio 10.2.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{6})$

Passaggio 10.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Passaggio 10.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 10.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 10.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 10.2.8

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

Passaggio 12.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 12.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

Passaggio 12.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})}{2}$

Passaggio 12.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $7 π$ e $2 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{9 π}{6})}{2}$

Passaggio 12.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2}$

Passaggio 12.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2}$

Passaggio 12.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2}$

Passaggio 12.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 12.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Passaggio 12.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Passaggio 12.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Passaggio 12.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3}{2}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- - \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 13

$x = \frac{7 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 14.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 14.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 14.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Passaggio 14.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Passaggio 14.2.4.2

Somma $7 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{9 π}{6})$

Passaggio 14.2.5

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Passaggio 14.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Passaggio 14.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Passaggio 14.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 14.2.9

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.9.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 14.2.9.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 14.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 14.2.11

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 15

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{3}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 16