Calcolo Esempi

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ come funzione.

$f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Passaggio 2.3.2.3

$\sin (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{3 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ per $1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{9}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\cos (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{9}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Passaggio 3.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Passaggio 3.3.3

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot 1$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $\frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} = 0$

Passaggio 5

Poni il numeratore uguale a zero.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{3 x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 6.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Passaggio 6.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x = 0$

Passaggio 6.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 6.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Passaggio 6.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 6.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Passaggio 6.7.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.8

La soluzione dell'equazione $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{8}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0)$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{8}$

Passaggio 8.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{8}$

Passaggio 8.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{8}$

Passaggio 8.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{8}$

Passaggio 8.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{8}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{27 \cos (0)}{8}$

Passaggio 8.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{27 \cdot 1}{8}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $27$ per $1$ .

$\frac{27}{8}$

Passaggio 9

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

Passaggio 10.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{8}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{8}$

Passaggio 12.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Passaggio 12.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{8}$

Passaggio 12.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{8}$

Passaggio 12.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{8}$

Passaggio 12.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Passaggio 12.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Passaggio 12.4.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{27 \cos (π)}{8}$

Passaggio 12.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{27 (- \cos (0))}{8}$

Passaggio 12.4.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{27 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Passaggio 12.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{27 \cdot - 1}{8}$

Passaggio 12.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{- 27}{8}$

Passaggio 12.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{27}{8}$

Passaggio 13

$x = \frac{2 π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Passaggio 14.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Passaggio 14.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Passaggio 14.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Passaggio 14.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

Passaggio 14.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- \cos (0))$

Passaggio 14.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 14.2.6

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{3}{2})$

Passaggio 14.2.6.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 14.2.7

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 15

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, - \frac{3}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 16