Calcolo Esempi

$y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.6

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.7

Moltiplica $- 15 x^{4}$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.8

Moltiplica $6 x$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Combina i termini opposti in $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sottrai $6 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Somma $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Somma $- 15 x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.4

Somma $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.10

Scomponi $- 1$ da $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.12

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.14

Riscrivi $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ come $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{6}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.6

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.12

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.15

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + 0) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.16

Somma $54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $\frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.12.2

Somma $- \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) + (- 4 (9 x^{6}) - 4 (15 x^{4}) - 4 (- x^{2}) - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (54 x^{5}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} x^{5} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.2.1

Sposta $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{5} x^{2}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{5 + 2} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.2.3

Somma $5$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{3 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.4.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 3.13.3.1.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.7

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.8

Moltiplica $54 x^{5}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.9

Moltiplica $60 x^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.10

Moltiplica $- 2 x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.11

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.3

Somma $60 x^{5}$ e $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.4

Somma $- 2 x^{3}$ e $60 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.5

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{1 + 6}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.5.3

Somma $1$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{7}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.6

Moltiplica $9$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{1 + 4}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{5}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.8

Moltiplica $15$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.9.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{1 + 2}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{3}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.11

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.11.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.11.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x^{2}) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.12

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.13

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.2

Sottrai $36 x^{7}$ da $54 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.3

Sottrai $60 x^{5}$ da $114 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.4

Somma $58 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.5

Somma $- 6 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 2 x - 6 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.6

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4

Scomponi $2$ da $18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.4.1

Scomponi $2$ da $18 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.2

Scomponi $2$ da $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.3

Scomponi $2$ da $62 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.4

Scomponi $2$ da $18 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.5

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.6

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.7

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.8

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.9

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.10

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.4.11

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.2.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.2.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.6

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.7

Moltiplica $- 15 x^{4}$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.8

Moltiplica $6 x$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.2.1

Sottrai $6 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.2.2

Somma $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.3

Somma $- 15 x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.4

Somma $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.10

Scomponi $- 1$ da $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.12

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.14

Riscrivi $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ come $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 0.16402146, 0.64778788$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0.16402146, 0.64778788$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0.16402146$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (9 {(0.16402146)}^{7} + 27 {(0.16402146)}^{5} + 31 {(0.16402146)}^{3} + 9 {(0.16402146)}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({(0.16402146)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.00000319 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $9$ per $0.00000319$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $5$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot 0.00011871 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $27$ per $0.00011871$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot 0.00441267 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $31$ per $0.00441267$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.7

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot 0.02690304 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $9$ per $0.02690304$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9

Moltiplica $- 3$ per $0.16402146$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.10

Somma $0.00002874$ e $0.00320528$ .

$- \frac{2 (0.00323403 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.11

Somma $0.00323403$ e $0.13679296$ .

$- \frac{2 (0.140027 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.12

Somma $0.140027$ e $0.24212737$ .

$- \frac{2 (0.38215438 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.13

Sottrai $0.4920644$ da $0.38215438$ .

$- \frac{2 (- 0.10991002 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.14

Sottrai $3$ da $- 0.10991002$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{(0.02690304 + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $0.02690304$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{1.02690304}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $1.02690304$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{1.08289991}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $- 3.10991002$ .

$- \frac{- 6.21982004}{1.08289991}$

Passaggio 10.3.2

Dividi $- 6.21982004$ per $1.08289991$ .

$- - 5.74367024$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5.74367024$ .

$5.74367024$

Passaggio 11

$x = 0.16402146$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.16402146$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0.16402146$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.16402146$ nell'espressione.

$f (0.16402146) = \frac{- 3 {(0.16402146)}^{5} + 3 {(0.16402146)}^{2} - (0.16402146)}{{(0.16402146)}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $5$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 3 \cdot 0.00011871 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0.00011871$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot 0.02690304 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.02690304$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.16402146$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.6

Somma $- 0.00035614$ e $0.08070912$ .

$f (0.16402146) = \frac{0.08035298 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.1.7

Sottrai $0.16402146$ da $0.08035298$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Eleva $0.16402146$ alla potenza di $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{0.02690304 + 1}$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $0.02690304$ e $1$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{1.02690304}$

Passaggio 12.2.3

Dividi $- 0.08366848$ per $1.02690304$ .

$f (0.16402146) = - 0.08147651$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $- 0.08147651$ .

$y = - 0.08147651$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0.64778788$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (9 {(0.64778788)}^{7} + 27 {(0.64778788)}^{5} + 31 {(0.64778788)}^{3} + 9 {(0.64778788)}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({(0.64778788)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.04786628 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $9$ per $0.04786628$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $5$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot 0.11406806 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $27$ per $0.11406806$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.5

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot 0.27183067 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.6

Moltiplica $31$ per $0.27183067$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot 0.41962913 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.8

Moltiplica $9$ per $0.41962913$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.9

Moltiplica $- 3$ per $0.64778788$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.10

Somma $0.43079657$ e $3.07983788$ .

$- \frac{2 (3.51063445 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.11

Somma $3.51063445$ e $8.42675077$ .

$- \frac{2 (11.93738522 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.12

Somma $11.93738522$ e $3.77666224$ .

$- \frac{2 (15.71404747 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.13

Sottrai $1.94336364$ da $15.71404747$ .

$- \frac{2 (13.77068382 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.14

Sottrai $3$ da $13.77068382$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{(0.41962913 + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Somma $0.41962913$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{1.41962913}^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Eleva $1.41962913$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{2.86104516}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $2$ per $10.77068382$ .

$- \frac{21.54136765}{2.86104516}$

Passaggio 14.3.2

Dividi $21.54136765$ per $2.86104516$ .

$- 1 \cdot 7.52919523$

Passaggio 14.3.3

Moltiplica $- 1$ per $7.52919523$ .

$- 7.52919523$

Passaggio 15

$x = 0.64778788$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.64778788$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 0.64778788$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.64778788$ nell'espressione.

$f (0.64778788) = \frac{- 3 {(0.64778788)}^{5} + 3 {(0.64778788)}^{2} - (0.64778788)}{{(0.64778788)}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $5$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 3 \cdot 0.11406806 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0.11406806$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot 0.41962913 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0.41962913$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.64778788$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.6

Somma $- 0.3422042$ e $1.25888741$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.9166832 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.1.7

Sottrai $0.64778788$ da $0.9166832$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Eleva $0.64778788$ alla potenza di $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{0.41962913 + 1}$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $0.41962913$ e $1$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{1.41962913}$

Passaggio 16.2.3

Dividi $0.26889532$ per $1.41962913$ .

$f (0.64778788) = 0.18941237$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $0.18941237$ .

$y = 0.18941237$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ .

$(0.16402146, - 0.08147651)$ è un minimo locale

$(0.64778788, 0.18941237)$ è un massimo locale

Passaggio 18