Calcolo Esempi

$y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.5.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.5.5.3

$27$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.2.4

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 2.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.7

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{27 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.5.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi ${(x + 1)}^{3}$ da ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi ${(x + 1)}^{3}$ da ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi ${(x + 1)}^{3}$ da $- 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi ${(x + 1)}^{3}$ da ${(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Scomponi ${(x + 1)}^{3}$ da ${(x + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.12.3

$- 27$ e $\frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.12.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + 0 - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.3

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2}) + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.4

Moltiplica $2$ per $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.5

Moltiplica $27$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 (x \cdot x)) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x^{2}) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.7

Moltiplica $- 4$ per $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.8

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (8 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.1.9

Moltiplica $8$ per $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.3.2

Sottrai $108 x^{2}$ da $54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.4.1

Scomponi $54$ da $- 54 x^{2} - 54 + 216 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.4.1.1

Scomponi $54$ da $- 54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4.1.2

Scomponi $54$ da $- 54$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4.1.3

Scomponi $54$ da $216 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4.1.4

Scomponi $54$ da $54 (- x^{2}) + 54 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4.1.5

Scomponi $54$ da $54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1 + 4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.4.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.6

Scomponi $- 1$ da $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.8

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.10

Riscrivi $- (x^{2} - 4 x + 1)$ come $- 1 (x^{2} - 4 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 3.13.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Passaggio 3.13.13

Moltiplica $\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Passaggio 5.1.2

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.5.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.5.5.3

$27$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1.1

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.1.2

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.1.3

Scomponi $27 {(x + 1)}^{2} x$ da $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.2.4

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Passaggio 5.1.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.2.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.7

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.1.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$27 x (x - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $27 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 1)}^{4} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{54 ({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1)}{{((0) + 1)}^{5}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{54 (0 - 4 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$\frac{54 (0 + 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Passaggio 10.1.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{54 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{5}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{1^{5}}$

Passaggio 10.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{54 \cdot 1}{1}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $54$ per $1$ .

$\frac{54}{1}$

Passaggio 10.3.2

Dividi $54$ per $1$ .

$54$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{27 {(0)}^{2}}{{((0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1^{3}}$

Passaggio 12.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $27$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Passaggio 12.2.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{54 ({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1)}{{((2) + 1)}^{5}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{54 (4 - 4 \cdot 2 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{54 (4 - 8 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Passaggio 14.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{54 (- 4 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Passaggio 14.1.4

Somma $- 4$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{5}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{3^{5}}$

Passaggio 14.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{243}$

Passaggio 14.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $54$ per $- 3$ .

$\frac{- 162}{243}$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune di $- 162$ e $243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $81$ da $- 162$ .

$\frac{81 (- 2)}{243}$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Scomponi $81$ da $243$ .

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Passaggio 14.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{3}$

Passaggio 14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 15

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{27 {(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{{(2 + 1)}^{3}}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Somma $2$ e $1$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{3^{3}}$

Passaggio 16.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{27}$

Passaggio 16.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1

Moltiplica $27$ per $4$ .

$f (2) = \frac{108}{27}$

Passaggio 16.2.3.2

Dividi $108$ per $27$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(2, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 18