Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2.3

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.4

$- 3$ e $\frac{8}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.6

$\frac{- 24}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 24 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.3.7.2.4

Dividi $- 8 x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 120$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ e $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $4 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2.4

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.2.5.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- \frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) \cdot x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.4

$- 3$ e $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.6

$\frac{- 24}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 24 x^{2}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.3.7.2.4

Dividi $- 8 x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Passaggio 5.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $- 120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 120$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Passaggio 5.1.5.2

Somma $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 6.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 6.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Passaggio 6.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Passaggio 6.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Poni $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 6.5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 6.6

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 4$

Passaggio 6.7

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 6.7.2

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.7.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 6.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 6.7.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 6.7.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(2)}^{3} - 16 \cdot 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 8 - 16 \cdot 2$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 - 16 \cdot 2$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$32 - 32$

Passaggio 10.2

Sottrai $32$ da $32$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Passaggio 11.2.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Passaggio 11.2.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$f' (- 4) = 256 - 128 + 16$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Sottrai $128$ da $256$ .

$f' (- 4) = 128 + 16$

Passaggio 11.2.2.2.2

Somma $128$ e $16$ .

$f' (- 4) = 144$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $144$ .

$144$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata prima $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 {(0)}^{2} + 16$

Passaggio 11.3.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16$

Passaggio 11.3.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 16$

Passaggio 11.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 16$

Passaggio 11.3.2.2.2

Somma $0$ e $16$ .

$f' (0) = 16$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = {(4)}^{4} - 8 {(4)}^{2} + 16$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 256 - 8 {(4)}^{2} + 16$

Passaggio 11.4.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Passaggio 11.4.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$f' (4) = 256 - 128 + 16$

Passaggio 11.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.2.1

Sottrai $128$ da $256$ .

$f' (4) = 128 + 16$

Passaggio 11.4.2.2.2

Somma $128$ e $16$ .

$f' (4) = 144$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $144$ .

$144$

Passaggio 11.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 12