Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{27} - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{27}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{27}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{3}{27}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{9} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{9}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{9}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{9} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.2.3

$2$ e $\frac{1}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.2.4

$\frac{2}{9}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9} + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{2 x}{9}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{27} - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{27}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{27}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.4

$\frac{3}{27}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{9} - 9$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{2}}{9} - 9$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{2}}{9} = 9$

Passaggio 6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 \cdot 9$

Passaggio 6.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 \cdot 9$

Passaggio 6.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 9 \cdot 9$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

$x^{2} = 81$

Passaggio 6.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{81}$

Passaggio 6.6

Semplifica $\pm \sqrt{81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 6.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 9$

Passaggio 6.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 9$

Passaggio 6.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 9$

Passaggio 6.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 9, - 9$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 9, - 9$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (9)}{9}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 9}{9}$

Passaggio 10.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11

$x = 9$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 9$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = \frac{{(9)}^{3}}{27} - 9 \cdot 9$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (9) = \frac{729}{27} - 9 \cdot 9$

Passaggio 12.2.1.2

Dividi $729$ per $27$ .

$f (9) = 27 - 9 \cdot 9$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$f (9) = 27 - 81$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $81$ da $27$ .

$f (9) = - 54$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 54$ .

$y = - 54$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (- 9)}{9}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scomponi $9$ da $2 (- 9)$ .

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9}$

Passaggio 14.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9 (1)}$

Passaggio 14.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9 \cdot 1}$

Passaggio 14.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{1}$

Passaggio 14.1.2.4

Dividi $2 \cdot (- 1)$ per $1$ .

$2 \cdot (- 1)$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 15

$x = - 9$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 9$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{3}}{27} - 9 \cdot - 9$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 729}{27} - 9 \cdot - 9$

Passaggio 16.2.1.2

Dividi $- 729$ per $27$ .

$f (- 9) = - 27 - 9 \cdot - 9$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$f (- 9) = - 27 + 81$

Passaggio 16.2.2

Somma $- 27$ e $81$ .

$f (- 9) = 54$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $54$ .

$y = 54$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$ .

$(9, - 54)$ è un minimo locale

$(- 9, 54)$ è un massimo locale

Passaggio 18