Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{4} - 81$ .

$\frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} - 81$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.1.2

Moltiplica $4$ per $- 81$ .

$\frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.2

Combina i termini opposti in $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Sottrai $4 x^{7}$ da $4 x^{7}$ .

$\frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Somma $- 324 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 324$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 324 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{4} - 81)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 81) x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.7

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.8

$- 324$ e $\frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(324) (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.1

Riscrivi ${(x^{4} - 81)}^{2}$ come $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 ((x^{4} - 81) (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.2

Espandi $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} (x^{4} - 81) - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.3.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3.1.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3.1.2

Sposta $- 81$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 \cdot x^{4} - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 81$ per $- 81$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 x^{4} - 81 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3.2

Sottrai $81 x^{4}$ da $- 81 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 162 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} + 3 (- 162 x^{4}) + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.5.1

Moltiplica $- 162$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $6561$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 19683) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{8} x^{2} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.7.1

Moltiplica $x^{8}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.7.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{2} x^{8}) - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{2 + 8} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.1.3

Somma $2$ e $8$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.7.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 (x^{2} x^{4}) + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{2 + 4} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.2.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{6} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10}) + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.9.1

Moltiplica $3$ per $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.2

Moltiplica $- 486$ per $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.3

Moltiplica $19683$ per $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.10

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.10.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.10.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{4 + 6}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.10.3

Somma $4$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{10}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.11

Moltiplica $- 8$ per $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.12

Moltiplica $- 81$ per $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (648 x^{6})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.13

Moltiplica $648$ per $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.2

Sottrai $2592 x^{10}$ da $972 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3.3

Somma $- 157464 x^{6}$ e $209952 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1

Scomponi $324 x^{2}$ da $- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1.1

Scomponi $324 x^{2}$ da $- 1620 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.1.2

Scomponi $324 x^{2}$ da $52488 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.1.3

Scomponi $324 x^{2}$ da $6377292 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.1.4

Scomponi $324 x^{2}$ da $324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.1.5

Scomponi $324 x^{2}$ da $324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.2

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.3

Sia $u = x^{4}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{4}$ con $u$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 5 \cdot 19683 = - 98415$ e la cui somma è $b = 162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.4.1.1

Scomponi $162$ da $162 u$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 (u) + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4.1.2

Riscrivi $162$ come $- 243$ più $405$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 243 + 405) u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} - 243 u + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u^{2} - 243 u) + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (u (- 5 u - 243) - 81 (- 5 u - 243))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 5 u - 243$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u - 243) (u - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.6

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.7

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4.9

Scomponi.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 81)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.5

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.6

Espandi $(x^{2} + 9) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.7.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.7.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.7.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.7.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.7.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.7.3

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.9

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x + 3) (x^{2} + 9))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.5.10

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 9$ e ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.6.1

Scomponi $x^{2} + 9$ da $324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.6.2.1

Scomponi $x^{2} + 9$ da ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 3.10.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 3.10.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.7

Elimina il fattore comune di $x + 3$ e ${(x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.1

Scomponi $x + 3$ da $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.1

Scomponi $x + 3$ da ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 3.10.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 3.10.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.8

Elimina il fattore comune di $x - 3$ e ${(x - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.8.1

Scomponi $x - 3$ da $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.10.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.8.2.1

Scomponi $x - 3$ da ${(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 3.10.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 3.10.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.9

Scomponi $- 1$ da $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.10

Riscrivi $- 243$ come $- 1 (243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.11

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{4}) - 1 (243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.12

Riscrivi $- (5 x^{4} + 243)$ come $- 1 (5 x^{4} + 243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Passaggio 3.10.15

Moltiplica $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10.16

Riordina i fattori in $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{324 x^{2} (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} - 81$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Somma $3$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.1.1.3

Somma $3$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.1.2

Moltiplica $4$ per $- 81$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.2

Combina i termini opposti in $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.3.2.1

Sottrai $4 x^{7}$ da $4 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.3.2.2

Somma $- 324 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$324 x^{3} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $324$ ciascun termine in $324 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $324$ ciascun termine in $324 x^{3} = 0$ .

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $324$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{324}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $324$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{4} - 81)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 81)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

${((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)))}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

${((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

${((x^{2} + 9) (x + 3))}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 9) (x + 3)$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.3

Imposta ${(x^{2} + 9)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Imposta ${(x^{2} + 9)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Risolvi ${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Poni $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 7.2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 7.2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 7.2.3.2.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 7.2.3.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 7.2.3.2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 7.2.3.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 7.2.4

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.4.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 7.2.4.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7.2.5

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.5.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.2.5.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Passaggio 7.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{324 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 243)}{{((0) + 3)}^{3} {({(0)}^{2} + 9)}^{3} {((0) - 3)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Somma $0$ e $243$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} \cdot 243}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $243$ per $324$ .

$\frac{78732 \cdot 0^{2}}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 3))}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 \cdot (0 - 3)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica ${(0 - 3)}^{3}$ per ${(0 - 3)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Sposta ${(0 - 3)}^{3}$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{3} {(0 - 3)}^{3}) {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.2.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3 + 3} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.2.6.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $78732$ per $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0 + 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4.3

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} \cdot 9^{3}}$

Passaggio 10.4.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (3))}^{6} \cdot 9^{3}}$

Passaggio 10.4.4.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (3)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Passaggio 10.4.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Passaggio 10.4.4.4

Moltiplica $3^{6}$ per $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6} \cdot 9^{3}}$

Passaggio 10.4.4.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(3^{2})}^{3} \cdot 3^{6})}$

Passaggio 10.4.4.6

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{6})}$

Passaggio 10.4.4.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{6} \cdot 3^{6})}$

Passaggio 10.4.4.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6 + 6}}$

Passaggio 10.4.4.8

Somma $6$ e $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{12}}$

Passaggio 10.4.5

Eleva $3$ alla potenza di $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 531441}$

Passaggio 10.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $- 1$ per $531441$ .

$\frac{0}{- 531441}$

Passaggio 10.5.2

Dividi $0$ per $- 531441$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 6$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = - \frac{324 {(- 6)}^{3}}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{(1296 - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Sottrai $81$ da $1296$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1215^{2}}$

Passaggio 11.2.2.2.3

Eleva $1215$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1476225}$

Passaggio 11.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.1

Moltiplica $324$ per $- 216$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 69984}{1476225}$

Passaggio 11.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 69984$ e $1476225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.2.1

Scomponi $2187$ da $- 69984$ .

$f' (- 6) = - \frac{2187 (- 32)}{1476225}$

Passaggio 11.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.2.2.1

Scomponi $2187$ da $1476225$ .

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Passaggio 11.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Passaggio 11.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 6) = - \frac{- 32}{675}$

Passaggio 11.2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = \frac{32}{675}$

Passaggio 11.2.2.4

La risposta finale è $\frac{32}{675}$ .

$\frac{32}{675}$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{324 {(2)}^{3}}{{({(2)}^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(2^{4} - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(16 - 81)}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2.2

Sottrai $81$ da $16$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(- 65)}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2.3

Eleva $- 65$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{4225}$

Passaggio 11.3.2.3

Moltiplica $324$ per $8$ .

$f' (2) = - \frac{2592}{4225}$

Passaggio 11.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{2592}{4225}$ .

$- \frac{2592}{4225}$

Passaggio 11.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12