Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x}{1 + x^{4}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $1 + x^{4}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Sottrai $4 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + 0) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2.7

Somma $- 12 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) (4 \cdot ((x^{4} + 1) x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 8 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{4} + 1)}^{2} x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{4} + 1)}^{2}$ come $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 ((x^{4} + 1) (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3

Espandi $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} (x^{4} + 1) + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.2

Somma $x^{4}$ e $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + 2 x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 12 (2 x^{4}) - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{8} x^{3} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{3} x^{8}) - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{3 + 8} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.1.3

Somma $3$ e $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 (x^{3} x^{4}) - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{3 + 4} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2.3

Somma $3$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.10.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4 + 3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10.1.2

Somma $4$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11

Espandi $(24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} (x^{7} + x^{3}) - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{7}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 (x^{7} x^{4}) + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{7 + 4} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.3

Somma $7$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{3 + 4} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.2.3

Somma $3$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{7} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.2

Sottrai $8 x^{7}$ da $24 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.2

Somma $- 12 x^{11}$ e $24 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.3

Somma $- 24 x^{7}$ e $16 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 12 x^{3} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.4

Sottrai $8 x^{3}$ da $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Scomponi $4 x^{3}$ da $12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Scomponi $4 x^{3}$ da $12 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.2

Scomponi $4 x^{3}$ da $- 8 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.3

Scomponi $4 x^{3}$ da $- 20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Scomponi $4 x^{3}$ da $4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.5

Scomponi $4 x^{3}$ da $4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.2

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 {(x^{4})}^{2} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.3

Sia $u = x^{4}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{4}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.4.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4.1.2

Riscrivi $- 2$ come $3$ più $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + (3 - 5) u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + 3 u - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((3 u^{2} + 3 u) - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u (u + 1) - 5 (u + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u + 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((u + 1) (3 u - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{4} + 1$ e ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da $4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $1 + x^{4}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $4 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 3 x^{4} + 1 = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{4} = - 1$

Passaggio 6.3.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{4} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{4} = - 1$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Passaggio 6.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 6.3.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 6.3.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 6.3.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 6.3.4.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 6.3.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Passaggio 6.3.4.4.4

Somma $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Passaggio 6.3.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 6.3.4.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 6.3.4.4.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 6.3.4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 6.3.4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Passaggio 6.3.4.4.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Passaggio 6.3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.5.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ come $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Passaggio 6.3.4.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 6.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 6.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 6.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

$4$ e $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.6.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.7

Dividi $27$ per $27$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (1 - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.8

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.9.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ come $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9.2

Eleva $27$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{19683}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9.3

Riscrivi $19683$ come $9^{4} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.9.3.1

Scomponi $6561$ da $19683$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9.3.2

Riscrivi $6561$ come $9^{4}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\frac{4 \cdot 9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.9.5

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.11

Elimina il fattore comune di $36$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.11.1

Scomponi $9$ da $36 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.11.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 (3)} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 \cdot 3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Elimina il fattore comune di $27$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Scomponi $27$ da $27$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Passaggio 10.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Passaggio 10.2.7

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Passaggio 10.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Passaggio 10.2.9

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{3^{3}}}$

Passaggio 10.2.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 10.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ e $- 4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 10.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 10.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $16$ da $- 16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $16$ da $64$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Passaggio 10.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Passaggio 10.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Passaggio 10.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Passaggio 10.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Passaggio 10.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Passaggio 10.7

$\frac{9}{4}$ e $\sqrt[4]{3}$ .

$- \frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Passaggio 11

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Passaggio 12.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Passaggio 12.2.2.4

Elimina il fattore comune di $27$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.1

Scomponi $27$ da $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Passaggio 12.2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Passaggio 12.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Passaggio 12.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Passaggio 12.2.2.7

Somma $3$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 12.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 12.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \sqrt[4]{27} (\frac{1}{4})$

Passaggio 12.2.6

$\sqrt[4]{27}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Passaggio 12.2.7

La risposta finale è $\frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ come $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4.2

Eleva $27$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{19683}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4.3

Riscrivi $19683$ come $9^{4} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.3.1

Scomponi $6561$ da $19683$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4.3.2

Riscrivi $6561$ come $9^{4}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.6.1

Scomponi $9$ da $9 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 (\sqrt[4]{3})}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.6.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.6.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.7.7

Dividi $27$ per $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (1 - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.8

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.9

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.9.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (4 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.9.2

$4$ e $\frac{\sqrt[4]{3}}{3}$ .

$\frac{- (\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.9.3

$\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ e $- 4$ .

$\frac{- \frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.9.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{- \frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.6

Elimina il fattore comune di $27$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.6.1

Scomponi $27$ da $27$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.6.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Passaggio 14.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Passaggio 14.2.9

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Passaggio 14.2.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Passaggio 14.2.11

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{3^{3}}}$

Passaggio 14.2.12

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ per $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Passaggio 14.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Passaggio 14.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Scomponi $16$ da $16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Passaggio 14.5.2

Scomponi $16$ da $64$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Passaggio 14.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Passaggio 14.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Passaggio 14.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Passaggio 14.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Passaggio 14.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Passaggio 14.7

$\sqrt[4]{3}$ e $\frac{9}{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{3} \cdot 9}{4}$

Passaggio 14.8

Sposta $9$ alla sinistra di $\sqrt[4]{3}$ .

$\frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Passaggio 15

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Passaggio 16.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Passaggio 16.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Passaggio 16.2.2.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ come $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{27}$ come $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Passaggio 16.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Passaggio 16.2.2.6

Elimina il fattore comune di $27$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.6.1

Scomponi $27$ da $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Passaggio 16.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.6.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Passaggio 16.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Passaggio 16.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Passaggio 16.2.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Passaggio 16.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Passaggio 16.2.2.9

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Passaggio 16.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Passaggio 16.2.4

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 16.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ nel numeratore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 16.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 16.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \sqrt[4]{27} \frac{1}{4}$

Passaggio 16.2.6

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt[4]{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Passaggio 16.2.7

La risposta finale è $- \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$ .

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ è un massimo locale

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 18