Calcolo Esempi

$y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ come ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 8 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- 8 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$16 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

$16 {(x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

$16$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ come ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{3})}^{- 1})$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{3 \cdot - 1})$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 3})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f'' (x) = 16 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = 16 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f'' (x) = - 48 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 48$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 48}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{48}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7