Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ come ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 2.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 2.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 2.13.2

$- 3$ e $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Passaggio 2.13.3

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.13.4

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi $3$ da $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 8 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9.3

Sposta ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9.4

$\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.12

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.14

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 (\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.14.2

Moltiplica $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 x^{2})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

$3$ e $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.16.3

$\frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2} x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.17

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 (x^{2} x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2 + 2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.17.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{4}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.18

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.19.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.19.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{4}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.20

Riordina $8$ e $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.21

Per scrivere $2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.23

Moltiplica ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.23.1

Sposta ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.23.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.23.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.23.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.23.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.24

Semplifica $2 x {(- x^{3} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.25

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.26

Moltiplica $\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.27

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.28

Moltiplica ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.28.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.28.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.28.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.29

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.30

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 3.30.2

Somma $- \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x \cdot x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.2.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{3 + 1}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{4}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.1.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.2

Combina i termini opposti in $- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.2.2.1

Somma $- 2 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x + 0}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.31.2.2.2

Somma $16 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ come ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 5.1.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 5.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 5.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 5.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 5.1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.13.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.1.13.2

$- 3$ e $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Passaggio 5.1.13.3

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.13.4

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.14.1

Scomponi $3$ da $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ come ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(8 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(8 - x^{3})}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

${(2^{3} - x^{3})}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

${((2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${((2 - x) (4 + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.4

Applica la regola del prodotto a $(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})$ .

${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.3

Imposta ${(2 - x)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Imposta ${(2 - x)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.3.2

Risolvi ${(2 - x)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.1

Poni $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 7.3.3.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 7.3.3.4

Imposta ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.1

Imposta ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ uguale a $0$ .

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.4.2

Risolvi ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm 0$

Passaggio 7.3.3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$4 + 2 x + x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.4.2.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.3.3.4.2.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3.4.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.4.2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.4.2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.4.2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = 2$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{16 (0)}{{(- {(0)}^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $16$ per $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{0}{{(0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$- \frac{0}{8^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$- \frac{0}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 10.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 10.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{0}{2^{5}}$

Passaggio 10.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$- \frac{0}{32}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Dividi $0$ per $32$ .

$- 0$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Somma $8$ e $8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{{(8 - {(1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2.2

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (1) = - \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(8 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4.2.2.2

Sottrai $64$ da $8$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 12