Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ come ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 2.12

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Passaggio 2.14

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15.2

Moltiplica $8 x - 12$ per $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15.3

Scomponi $4$ da $8 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15.3.2

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15.3.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 3}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 3$ e $g (x) = {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 3) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3} \cdot {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.3

Sposta ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 12 x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \frac{d}{d x} x))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12 \cdot 1))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} (8 x - 12))}{{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- (2 x) + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (8 x - 12)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.3

Moltiplica $\frac{2}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $8 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (8 x - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.4.1

Scomponi $4$ da $8 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.4.1.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) - 12)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.4.1.2

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x) + 4 (- 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.4.1.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{2 \cdot (4 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((- 2 x + 3) (\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.5

Moltiplica $- 2 x + 3$ per $\frac{8 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- 2 x + 3) (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) + 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{(- (2 x) - 1 \cdot - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.4

Riscrivi $- (2 x - 3)$ come $- 1 (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 (2 x - 3) \cdot (8 (2 x - 3))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.5

Eleva $2 x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.6

Eleva $2 x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 ((2 x - 3) (2 x - 3)))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{1 + 1})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 1 \cdot (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.6.9

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (\frac{- 8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.8

Moltiplica $4 (- \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - 4 \frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.8.2

$- 4$ e $\frac{8 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 (8 {(2 x - 3)}^{2})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.8.3

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.10

Per scrivere $8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.11

$8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}) - 32 {(2 x - 3)}^{2}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.13

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14

Riscrivi $\frac{- 32 {(2 x - 3)}^{2} + 3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.1

Riscrivi ${(2 x - 3)}^{2}$ come $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 ((2 x - 3) (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.2

Espandi $(2 x - 3) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3)) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2} - 12 x + 9) + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 (4 x^{2}) - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.5.1

Moltiplica $4$ per $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} - 32 (- 12 x) - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.5.2

Moltiplica $- 12$ per $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 32 \cdot 9 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.5.3

Moltiplica $- 32$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.6

Moltiplica ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.6.1

Sposta ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.6.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{3}{3}})}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.6.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.7

Semplifica $3 \cdot 8 {(4 x^{2} - 12 x)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 3 \cdot (8 (4 x^{2} - 12 x))}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.8

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2} - 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.9

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 24 (4 x^{2}) + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.10

Moltiplica $4$ per $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} + 24 (- 12 x)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.11

Moltiplica $- 12$ per $24$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 128 x^{2} + 384 x - 288 + 96 x^{2} - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.12

Somma $- 128 x^{2}$ e $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 384 x - 288 - 288 x}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.13

Sottrai $288 x$ da $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 32 x^{2} + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.14

Scomponi $32$ da $- 32 x^{2} + 96 x - 288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.14.14.1

Scomponi $32$ da $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 96 x - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.14.2

Scomponi $32$ da $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) - 288}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.14.3

Scomponi $32$ da $- 288$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2}) + 32 (3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.14.4

Scomponi $32$ da $32 (- x^{2}) + 32 (3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.14.14.5

Scomponi $32$ da $32 (- x^{2} + 3 x) + 32 (- 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1

Riscrivi $\frac{\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.4.2

Moltiplica $\frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 3.17.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.4.4

Moltiplica ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.4.1

Sposta ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 ({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3}} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 3.17.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.17.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 3.17.4.4.4

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- x^{2} + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) + 3 x - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.6

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2}) - (- 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.8

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 3 x) - 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.10

Riscrivi $- (x^{2} - 3 x + 9)$ come $- 1 (x^{2} - 3 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{32 (- 1 (x^{2} - 3 x + 9))}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{32 (x^{2} - 3 x + 9)}{9 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ come ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 12 x$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta ${(4 x^{2} - 12 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

Passaggio 5.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 5.1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 5.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 5.1.11

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Passaggio 5.1.12

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.14

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$

Passaggio 5.1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} (8 x - 12)$ .

$(8 x - 12) \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.15.2

Moltiplica $8 x - 12$ per $\frac{1}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 x - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.15.3

Scomponi $4$ da $8 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.15.3.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 12}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.15.3.2

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.15.3.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (2 x - 3) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (2 x - 3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (2 x - 3) = 0$ .

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $2 x - 3$ per $1$ .

$2 x - 3 = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 (2 x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(4 x^{2} - 12 x)}^{2}}$ come ${(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(4 x^{2} - 12 x)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$27 {(4 x (x) - 12 x)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 12 x$ .

$27 {(4 x (x) + 4 x (- 3))}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x) + 4 x (- 3)$ .

$27 {(4 x (x - 3))}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $4 x (x - 3)$ .

$27 ({(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 7.3.3.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$27 {(4 x)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$27 (4^{2} x^{2}) {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.3.3.4

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.4.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.3.3.4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $27 \cdot (4^{2} x^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 7.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = 0, x = 3$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{3}{2}, 0, 3$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{32 ({(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

$- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.6

Per scrivere $- \frac{9}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.7.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{32 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.9.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$- \frac{32 (\frac{9 - 18}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.9.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9)}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.10

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.11

$9$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{32 (\frac{- 9}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{32 \frac{- 9 + 9 \cdot 4}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.13.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$- \frac{32 \frac{- 9 + 36}{4}}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.1.13.2

Somma $- 9$ e $36$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 \frac{9}{2^{2}} - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 12 (\frac{3}{2}))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 (- 6) \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 + 2 \cdot - 6 \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 6 \cdot 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(9 - 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$- \frac{32 (\frac{27}{4})}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$32$ e $\frac{27}{4}$ .

$- \frac{\frac{32 \cdot 27}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Moltiplica $32$ per $27$ .

$- \frac{\frac{864}{4}}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2

Dividi $864$ per $4$ .

$- \frac{216}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $9$ da $216$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $9$ da $9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{9 \cdot 24}{9 ({(- 9)}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 \cdot 24}{9 {(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{24}{{(- 9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{2^{2}}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{4 (\frac{9}{4}) - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 12 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 (- 6) (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 + 2 \cdot (- 6 (\frac{3}{2}))}$

Passaggio 12.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 6 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{9 - 18}$

Passaggio 12.2.4.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 9}$

Passaggio 12.2.5

Riscrivi $- 9$ come ${(- 1)}^{3} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 9}$

Passaggio 12.2.5.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 9}$

Passaggio 12.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{3}{2}) = - 1 \sqrt[3]{9}$

Passaggio 12.2.7

Riscrivi $- 1 \sqrt[3]{9}$ come $- \sqrt[3]{9}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sqrt[3]{9}$

Passaggio 12.2.8

La risposta finale è $- \sqrt[3]{9}$ .

$y = - \sqrt[3]{9}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(4 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 - 12 \cdot 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 {(0 + 0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 14.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 14.2.4.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Passaggio 14.2.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Passaggio 14.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{32 ({(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 9)}{0}$

Passaggio 14.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4 (2 (- 2) - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 4 - 3)}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.1.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 - 12 \cdot - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 {(16 + 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $16$ e $24$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 7}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 7$ .

$f' (- 2) = \frac{- 28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{28}{3 \cdot 40^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{3}{2})$ nella derivata prima $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{4 (2 (1) - 3)}{3 {(4 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4 (2 - 3)}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 \cdot 1 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(4 - 12)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.3

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.3.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.3.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 15.3.2.2.6

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Passaggio 15.3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{3 \cdot 4}$

Passaggio 15.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (1) = \frac{- 4}{12}$

Passaggio 15.3.2.3.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f' (1) = \frac{4 (- 1)}{12}$

Passaggio 15.3.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 15.3.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 15.3.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 15.3.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 15.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{3}{2}, 3)$ nella derivata prima $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{4 (2 (2) - 3)}{3 {(4 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (4 - 3)}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(4 \cdot 4 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 12 \cdot 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(16 - 24)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.3

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.4.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.4.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 15.4.2.2.6

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Passaggio 15.4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{3 \cdot 4}$

Passaggio 15.4.2.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{12}$

Passaggio 15.4.2.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f' (2) = \frac{4 (1)}{12}$

Passaggio 15.4.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 15.4.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 15.4.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = \frac{1}{3}$

Passaggio 15.4.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 (2 x - 3)}{3 {(4 x^{2} - 12 x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{4 (2 (6) - 3)}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Scomponi $3$ da $4 (2 (6) - 3)$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 ({(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (6) = \frac{3 (4 (2 \cdot (2) - 1))}{3 {(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (6) = \frac{4 (2 \cdot (2) - 1)}{{(4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (6) = \frac{4 (4 - 1)}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.3.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(4 \cdot 36 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.4.1.2

Moltiplica $4$ per $36$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 12 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.4.1.3

Moltiplica $- 12$ per $6$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{{(144 - 72)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.4.2

Sottrai $72$ da $144$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 3}{72^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (6) = \frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.6

La risposta finale è $\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{72^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{3}{2}$ , allora $x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 3$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sqrt[3]{4 x^{2} - 12 x}$ .

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 16