Calcolo Esempi

$y = x^{3} \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.4

Riordina i termini.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.5

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.2.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 3 (\ln (x) (2 x))$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 6 (\ln (x) (x))$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $2 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = 5 x + 6 \ln (x) x$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 6 x \ln (x) + 5 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$

Passaggio 6.3

Dividi per $3 x^{2}$ ciascun termine in $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $3 x^{2}$ ciascun termine in $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{1}{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3}} = x$

Passaggio 6.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{1}{3}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 7.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$6$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.2

Sposta $e^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (e^{- \frac{1}{3}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.3

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ spostando $- \frac{1}{3}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \ln (e)) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \cdot 1) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.6.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (2)}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.7

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 10.1.10

$5$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 2$ e $5$ .

$\frac{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.2.2

Semplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 12.2.3

Sposta $e^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 12.2.4

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ spostando $- \frac{1}{3}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \ln (e))$

Passaggio 12.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 12.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3})$

Passaggio 12.2.7

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{e \cdot 3}$

Passaggio 12.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{3 e}$

Passaggio 12.2.9

La risposta finale è $- \frac{1}{3 e}$ .

$y = - \frac{1}{3 e}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}, - \frac{1}{3 e})$ è un minimo locale

Passaggio 14