Calcolo Esempi

$y = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 x {(x - 2)}^{3}$ come funzione.

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.5.3.2

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Passaggio 2.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.6

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.7.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.7.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.9.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Passaggio 2.5.10

Espandi $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.7

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.8

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.9

Moltiplica $4$ per $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.11.10

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 2.5.12

Sottrai $32 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 2.5.13

Somma $16 x$ e $32 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $24 x^{2} - 72 x + 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.1.4.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 5.1.5.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 5.1.5.3.2

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 5.1.5.3.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Passaggio 5.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.5

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.6

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.7.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.7.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.9.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Passaggio 5.1.5.10

Espandi $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.7

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.8

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Passaggio 5.1.5.11.10

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 5.1.5.12

Sottrai $32 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 5.1.5.13

Somma $16 x$ e $32 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4$ da $48 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) - 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 6.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 6.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 6.2.2.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.5

Moltiplica $- 9$ per $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.6

Sottrai $2.25$ da $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.7

Moltiplica $12$ per $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.8

Somma $- 2$ e $6$ .

$4 - 4$

Passaggio 6.2.2.3.9

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Passaggio 6.2.2.5

Dividi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ per $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Passaggio 6.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 6.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 6.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 6.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 6.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Passaggio 6.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 6.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 6.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 6.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Passaggio 6.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 6.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 6.2.2.6

Scrivi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ come insieme di fattori.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 6.2.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.2.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 {(\frac{1}{2})}^{2} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$24 \frac{1}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$24 (\frac{1}{4}) - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$6 - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Passaggio 10.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 72$ .

$6 + 2 (- 36) \frac{1}{2} + 48$

Passaggio 10.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$6 + 2 \cdot - 36 \frac{1}{2} + 48$

Passaggio 10.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$6 - 36 + 48$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $36$ da $6$ .

$- 30 + 48$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 30$ e $48$ .

$18$

Passaggio 11

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) \cdot {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Passaggio 12.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 1 {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica ${((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Passaggio 12.2.3

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.4

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 4}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.8

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 12.2.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 12.2.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 12.2.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{2^{3}}$

Passaggio 12.2.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{8}$

Passaggio 12.2.12

La risposta finale è $- \frac{27}{8}$ .

$y = - \frac{27}{8}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 48$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$24 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 48$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $24$ per $4$ .

$96 - 72 \cdot 2 + 48$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 72$ per $2$ .

$96 - 144 + 48$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $144$ da $96$ .

$- 48 + 48$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 48$ e $48$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata prima $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 8 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 8 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Passaggio 15.2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Passaggio 15.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 48 (0) - 16$

Passaggio 15.2.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48 (0) - 16$

Passaggio 15.2.2.1.5

Moltiplica $48$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 16$

Passaggio 15.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $16$ da $0$ .

$f' (0) = - 16$

Passaggio 15.2.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(\frac{1}{2}, 2)$ nella derivata prima $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 8 \cdot 1 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Passaggio 15.3.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 8 - 36 \cdot 1 + 48 (1) - 16$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 (1) - 16$

Passaggio 15.3.2.1.5

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 - 16$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Sottrai $36$ da $8$ .

$f' (1) = - 28 + 48 - 16$

Passaggio 15.3.2.2.2

Somma $- 28$ e $48$ .

$f' (1) = 20 - 16$

Passaggio 15.3.2.2.3

Sottrai $16$ da $20$ .

$f' (1) = 4$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 8 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 8 \cdot 64 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $8$ per $64$ .

$f' (4) = 512 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Passaggio 15.4.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 512 - 36 \cdot 16 + 48 (4) - 16$

Passaggio 15.4.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $16$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 48 (4) - 16$

Passaggio 15.4.2.1.5

Moltiplica $48$ per $4$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 192 - 16$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Sottrai $576$ da $512$ .

$f' (4) = - 64 + 192 - 16$

Passaggio 15.4.2.2.2

Somma $- 64$ e $192$ .

$f' (4) = 128 - 16$

Passaggio 15.4.2.2.3

Sottrai $16$ da $128$ .

$f' (4) = 112$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $112$ .

$112$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{1}{2}$ , allora $x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$ .

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 16