Calcolo Esempi

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Passaggio 1

Scrivi $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ come funzione.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{π}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{12} (x - 2)$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $\frac{π}{12}$ per $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Passaggio 2.2.9

$\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ e $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Passaggio 2.2.10

$5$ e $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{π}{12}$ e $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.5

$\frac{π}{12}$ e $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Passaggio 2.3.2.6

Somma $0$ e $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{5 π}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ rispetto a $x$ è $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\frac{5 π}{12}$ e $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $\frac{π}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{12}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $\frac{π}{12}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- \frac{π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Passaggio 3.3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $\frac{π}{12}$ per $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Passaggio 3.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Passaggio 3.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Passaggio 3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $12$ per $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Passaggio 5

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Dividi $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ per $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Passaggio 6.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Passaggio 6.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 6.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 6.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $\frac{π}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.4.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Passaggio 6.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Passaggio 6.4.5.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Passaggio 6.4.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Passaggio 6.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Passaggio 6.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Passaggio 6.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Passaggio 6.6.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Passaggio 6.6.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 4 \cdot 2$

Passaggio 6.6.2.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = 8$

Passaggio 6.7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.8.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.8.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.8.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.8.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Somma $\frac{π}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.8.2.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.8.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 6.8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Passaggio 6.8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Passaggio 6.8.2.5.2

Somma $9 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Passaggio 6.8.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.6.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Passaggio 6.8.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Passaggio 6.8.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.8.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.8.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Passaggio 6.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Passaggio 6.8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Passaggio 6.8.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 4 \cdot 5$

Passaggio 6.8.4.2.1.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$x = 20$

Passaggio 6.9

La soluzione dell'equazione $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $4$ da $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Passaggio 8.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Passaggio 8.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Passaggio 8.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Passaggio 8.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Passaggio 9

$x = 8$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Sottrai $2$ da $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Passaggio 10.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Passaggio 10.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Passaggio 10.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 2$ e $5$ .

$f (8) = 3$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 20$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scomponi $4$ da $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sposta $5$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $\frac{5 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $π$ da $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Passaggio 12.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Passaggio 12.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Passaggio 12.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Passaggio 12.2.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Passaggio 12.2.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Passaggio 12.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Passaggio 12.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Passaggio 12.4

Moltiplica $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $\frac{5 π^{2}}{144}$ per $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Passaggio 13

$x = 20$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 20$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $20$ nell'espressione.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Sottrai $2$ da $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Passaggio 14.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Passaggio 14.2.1.2.2

Scomponi $6$ da $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Passaggio 14.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Passaggio 14.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Passaggio 14.2.1.3

$\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Passaggio 14.2.1.4

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Passaggio 14.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.2.1.7

Moltiplica $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Passaggio 14.2.1.7.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 15

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ è un massimo locale

$(20, - 7)$ è un minimo locale

Passaggio 16