Calcolo Esempi

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Passaggio 1

Scrivi $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ come funzione.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 13 \cos (h x)$ rispetto a $x$ è $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $h x$ rispetto a $x$ è $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $h$ per $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \sin (h x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $h x$ rispetto a $x$ è $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $h$ per $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $13 h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13 h \sin (h x)$ rispetto a $x$ è $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.3

Poiché $h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $h x$ rispetto a $x$ è $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $h$ per $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.6

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.7

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $12 h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 h \cos (h x)$ rispetto a $x$ è $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $h x$ rispetto a $x$ è $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $h$ per $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Passaggio 3.3.7

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Passaggio 3.3.8

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Passaggio 3.3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Passaggio 3.3.10

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Passaggio 5

Dividi per $\cos (h x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 6

Frazioni separate.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ a $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 8

Dividi $13 h$ per $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $\cos (h x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 9.2

Dividi $12 h$ per $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Passaggio 10

Frazioni separate.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Passaggio 11

Converti da $\frac{1}{\cos (h x)}$ a $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Passaggio 12

Dividi $0$ per $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Passaggio 13

Moltiplica $0$ per $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Passaggio 14

Sottrai $12 h$ da entrambi i lati dell'equazione.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Passaggio 15

Dividi per $13 h$ ciascun termine in $13 h \tan (h x) = - 12 h$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi per $13 h$ ciascun termine in $13 h \tan (h x) = - 12 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune di $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.2.2.2

Dividi $\tan (h x)$ per $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Passaggio 15.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Passaggio 15.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Passaggio 16

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Passaggio 17

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Calcola $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Passaggio 18

Dividi per $h$ ciascun termine in $h x = - 0.74541947$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi per $h$ ciascun termine in $h x = - 0.74541947$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Passaggio 18.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Passaggio 18.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Passaggio 18.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Passaggio 19

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Passaggio 20

Somma $2 π$ a $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 21

L'angolo risultante di $2.39617317$ è positivo e coterminale con $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Passaggio 22

Dividi per $h$ ciascun termine in $h x = 2.39617317$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Dividi per $h$ ciascun termine in $h x = 2.39617317$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Passaggio 22.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Passaggio 22.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Passaggio 23

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Passaggio 24

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1

Elimina il fattore comune.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Passaggio 24.1.2

Riscrivi l'espressione.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Passaggio 24.2

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Elimina il fattore comune.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Passaggio 24.2.2

Riscrivi l'espressione.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Passaggio 25

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 26