Calcolo Esempi

$y = 2 \sqrt{x} - x$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 \sqrt{x} - x$ come funzione.

$f (x) = 2 \sqrt{x} - x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt{x} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.13

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.12.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.13

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt{x} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt{x}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.12

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.2.13

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} x$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$1 = x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Passaggio 6.5.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.5.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.5.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.5.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 1^{2}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} - 1$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 7.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 11

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 \sqrt{1} - (1)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = 2 \sqrt{1} - (1)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1)$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - (1)$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Passaggio 12.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{1}{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 0}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{1}{0}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 16