Calcolo Esempi

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ come funzione.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ e $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $700 - \frac{4 x}{3}$ per $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $700 - \frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $700$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $700$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Passaggio 2.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $\frac{4 x}{3}$ da $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Passaggio 2.3.9.3

$- 2$ e $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Passaggio 2.3.9.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.4.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Passaggio 2.3.9.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Passaggio 2.4.2.3

$- 2$ e $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Passaggio 2.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{16 x}{3} + 1400$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- \frac{16}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{16 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $1400$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1400$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $- \frac{16}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ e $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $700 - \frac{4 x}{3}$ per $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 5.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $700 - \frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Passaggio 5.1.3.4

Poiché $700$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $700$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Passaggio 5.1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Passaggio 5.1.3.6

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.1.3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.7.1

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Passaggio 5.1.3.9.2

Sottrai $\frac{4 x}{3}$ da $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Passaggio 5.1.3.9.3

$- 2$ e $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Passaggio 5.1.3.9.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.9.4.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Passaggio 5.1.3.9.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Passaggio 5.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Passaggio 5.1.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Passaggio 5.1.4.2.3

$- 2$ e $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Passaggio 5.1.4.2.4

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Passaggio 5.1.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Passaggio 5.1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1400$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Passaggio 6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Semplifica $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{16}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16 x}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.1.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.2.1

Scomponi $16$ da $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{16}$ nel numeratore.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Scomponi $8$ da $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Passaggio 6.4.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Passaggio 6.4.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Passaggio 6.4.2.1.2

$\frac{- 3}{2}$ e $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{525}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{525}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{16}{3}$

Passaggio 10

$x = \frac{525}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{525}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{525}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{525}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Passaggio 11.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.1.2

$4$ e $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $4$ per $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.1.2.4

Dividi $1050$ per $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune di $1050$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.2.2.4

Dividi $350$ per $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Sottrai $350$ da $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $350$ per $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $183750$ .

$y = 183750$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ è un massimo locale

Passaggio 13