Calcolo Esempi

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ come funzione.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \csc (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori di $- 2 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cot (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.4

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.5

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 3.8

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 3.9

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Passaggio 3.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Passaggio 3.11

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 3.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Passaggio 3.12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Passaggio 3.12.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cot (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Passaggio 7.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.6

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Passaggio 10.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 11

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel quarto quadrante.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.7

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.8

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.8.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.9

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Passaggio 14.1.10

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Passaggio 14.1.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 14.1.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2$

Passaggio 14.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 15

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Passaggio 16.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Passaggio 16.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ è un massimo locale

Passaggio 18