Calcolo Esempi

$y = x e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x e^{\frac{x}{2}}$ come funzione.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2.3.6.2

Riordina i fattori in $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.8

$e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.9

$x$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.5

$e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.4

Somma $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + 2 (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2})$

Passaggio 3.4.2.5

$2$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.6.2

Dividi $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Moltiplica $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 5.1.3.6.2

Riordina i fattori in $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{\frac{x}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{\frac{x}{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{\frac{x}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

Imposta $\frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $\frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $\frac{x}{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - 1$

Passaggio 6.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = - 2$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(- 2) e^{\frac{- 2}{2}}}{4} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sposta $e^{\frac{- 2}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 2}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 1}{1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 e^{- - 1}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 e^{1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.4.2

Semplifica.

$\frac{- 1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 10.1.6

Dividi $- 2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 e} + e^{- 1}$

Passaggio 10.1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e}$

Passaggio 10.2

Per scrivere $\frac{1}{e}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 e$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{e \cdot 2}$

Passaggio 10.3.2

Riordina i fattori di $e \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{2 e}$

Passaggio 10.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{2 e}$

Passaggio 10.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 e}$

Passaggio 11

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 12.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 12.2.3

$- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e}$

Passaggio 12.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 2) = - \frac{2}{e}$

Passaggio 12.2.5

La risposta finale è $- \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e})$ è un minimo locale

Passaggio 14