Calcolo Esempi

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x e^{\frac{1}{x}}$ come funzione.

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ come $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Passaggio 2.8

Moltiplica $e^{\frac{1}{x}}$ per $1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2.9.2

$\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ e $g (x) = x$ .

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.10

Somma $- 2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.11

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.12

Riscrivi $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ come $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.2.15

Somma $- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Moltiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Moltiplica $e^{\frac{1}{x}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.4

Sottrai $e^{\frac{1}{x}}$ da $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.4.5

Somma $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Combina.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.4.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $e^{\frac{1}{x}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.6.3

Riscrivi $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ come $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $e^{\frac{1}{x}}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.1.9.2

$\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{\frac{1}{x}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{\frac{1}{x}}$ uguale a $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{\frac{1}{x}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{\frac{1}{x}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

Imposta $- \frac{1}{x} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $- \frac{1}{x} + 1$ uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Passaggio 6.5.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 6.5.2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 6.5.2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- \frac{1}{x} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x} = - 1$ per $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Passaggio 6.5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Passaggio 6.5.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Passaggio 6.5.2.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - x$

Passaggio 6.5.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1

Riscrivi l'equazione come $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Passaggio 6.5.2.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ vera.

$x = 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$\frac{e}{1^{3}}$

Passaggio 10.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e}{1}$

Passaggio 10.4

Dividi $e$ per $1$ .

$e$

Passaggio 11

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $e^{\frac{1}{1}}$ per $1$ .

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

Passaggio 12.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = e$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $e$ .

$y = e$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ .

$(1, e)$ è un minimo locale

Passaggio 14