Calcolo Esempi

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 (1 - e^{- 2 x})$ come funzione.

$f (x) = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 (1 - e^{- 2 x})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.1.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$5 (- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$- 5 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$10 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 e^{- 2 x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 10 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7