Calcolo Esempi

$y = 4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$ come funzione.

$f (x) = 4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{\frac{4}{9}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$4 - 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{9}$ .

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 - 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Passaggio 2.3.8

$\frac{4}{9}$ e $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$4 - 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Passaggio 2.3.9

$- 9$ e $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$4 + \frac{- 9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$4 + \frac{- 36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Passaggio 2.3.11

Sposta $x^{- \frac{5}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + \frac{- 36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 2.3.12

Scomponi $9$ da $- 36$ .

$4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 2.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Scomponi $9$ da $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Passaggio 2.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 2.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$4 + \frac{- 4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}})$

Passaggio 3.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{9}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{5}{9}}}$ come ${(x^{\frac{5}{9}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{9}})}^{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{5}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{5}{9}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{9}}))$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{9}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{5}{9}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x^{\frac{5}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{9}})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{9}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x^{\frac{5}{9}})}^{- 2} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1}))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{9}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{\frac{5}{9} \cdot - 2} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $\frac{5}{9} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

$\frac{5}{9}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{\frac{5 \cdot - 2}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.2.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{\frac{- 10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1}))$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1}))$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{5 - 9}{9}}))$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $9$ da $5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{\frac{- 4}{9}}))$

Passaggio 3.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} (\frac{5}{9} x^{- \frac{4}{9}}))$

Passaggio 3.2.11

$\frac{5}{9}$ e $x^{- \frac{4}{9}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- x^{- \frac{10}{9}} \frac{5 x^{- \frac{4}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.12

$\frac{5 x^{- \frac{4}{9}}}{9}$ e $x^{- \frac{10}{9}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 x^{- \frac{4}{9}} x^{- \frac{10}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{4}{9}}$ per $x^{- \frac{10}{9}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Sposta $x^{- \frac{10}{9}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 (x^{- \frac{10}{9}} x^{- \frac{4}{9}})}{9})$

Passaggio 3.2.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 x^{- \frac{10}{9} - \frac{4}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 x^{\frac{- 10 - 4}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.13.4

Sottrai $4$ da $- 10$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 x^{\frac{- 14}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5 x^{- \frac{14}{9}}}{9})$

Passaggio 3.2.14

Sposta $x^{- \frac{14}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{5}{9 x^{\frac{14}{9}}})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{5}{9 x^{\frac{14}{9}}})$

Passaggio 3.2.16

$4$ e $\frac{5}{9 x^{\frac{14}{9}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{4 \cdot 5}{9 x^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 3.2.17

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{20}{9 x^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{20}{9 x^{\frac{14}{9}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{9 x^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{4}{9}})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{4}{9}})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{4}{9}})$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{4}{9}})$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{\frac{4}{9}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$f' (x) = 4 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{9}$ .

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Passaggio 5.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Passaggio 5.1.3.4

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Passaggio 5.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Passaggio 5.1.3.6.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Passaggio 5.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 4 - 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Passaggio 5.1.3.8

$\frac{4}{9}$ e $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$f' (x) = 4 - 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Passaggio 5.1.3.9

$- 9$ e $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$f' (x) = 4 + \frac{- 9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Passaggio 5.1.3.10

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$f' (x) = 4 + \frac{- 36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Passaggio 5.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{5}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 + \frac{- 36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 5.1.3.12

Scomponi $9$ da $- 36$ .

$f' (x) = 4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 5.1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.13.1

Scomponi $9$ da $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$f' (x) = 4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Passaggio 5.1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 4 + \frac{9 \cdot - 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 5.1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 4 + \frac{- 4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 5.1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ .

$4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = - 4$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{5}{9}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $x^{\frac{5}{9}}$ ciascun termine in $- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = - 4$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = - 4$ per $x^{\frac{5}{9}}$ .

$- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = - 4 x^{\frac{5}{9}}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{5}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = - 4 x^{\frac{5}{9}}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = - 4 x^{\frac{5}{9}}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 = - 4 x^{\frac{5}{9}}$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 x^{\frac{5}{9}} = - 4$ .

$- 4 x^{\frac{5}{9}} = - 4$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{\frac{5}{9}} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{\frac{5}{9}} = - 4$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{5}{9}}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{\frac{5}{9}}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{5}{9}}$ per $1$ .

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

Passaggio 6.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{9}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 6.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$4 - \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $9$ potenza.

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[9]{x^{5}}$ come $x^{\frac{5}{9}}$ .

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} = 0^{9}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{5} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{20}{9 {(1)}^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{20}{9 \cdot 1}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{20}{9}$

Passaggio 11

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 (1) - 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 - 9 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 9$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$f (1) = - 5$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{20}{9 {(0)}^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{9}$ .

$\frac{20}{9 {(0^{9})}^{\frac{14}{9}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{9 \cdot 0^{9 (\frac{14}{9})}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{9 \cdot 0^{9 (\frac{14}{9})}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20}{9 \cdot 0^{14}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{20}{9 \cdot 0}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{20}{0}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{20}{0}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 4 - \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $4 - \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{5}{9}}}$ .

$4 - \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dall'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5$ nell'espressione.

$f' (0.5) = 4 - \frac{4}{{(0.5)}^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $\frac{5}{9}$ .

$f' (0.5) = 4 - \frac{4}{0.680395}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Dividi $4$ per $0.680395$ .

$f' (0.5) = 4 - 1 \cdot 5.87893796$

Passaggio 15.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5.87893796$ .

$f' (0.5) = 4 - 5.87893796$

Passaggio 15.3.2.2

Sottrai $5.87893796$ da $4$ .

$f' (0.5) = - 1.87893796$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $- 1.87893796$ .

$- 1.87893796$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $4 - \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 4 - \frac{4}{{(4)}^{\frac{5}{9}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Sposta ${(4)}^{\frac{5}{9}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (4) = 4 - (4 \cdot 4^{- \frac{5}{9}})$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4^{- \frac{5}{9}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.2.1

Moltiplica $4$ per $4^{- \frac{5}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = 4 - (4 \cdot 4^{- \frac{5}{9}})$

Passaggio 15.4.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = 4 - 4^{1 - \frac{5}{9}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (4) = 4 - 4^{\frac{9}{9} - \frac{5}{9}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = 4 - 4^{\frac{9 - 5}{9}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.4

Sottrai $5$ da $9$ .

$f' (4) = 4 - 4^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 15.4.2.2

La risposta finale è $4 - 4^{\frac{4}{9}}$ .

$4 - 4^{\frac{4}{9}}$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x - 9 x^{\frac{4}{9}}$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 16