Calcolo Esempi

$y = 4 x - 6 \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 4 x - 6 \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 6 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.3

$- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Passaggio 2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 - \frac{6}{x}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- \frac{6}{x} + 4$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{6}{x} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}} + 0$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $\frac{6}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 6 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 5.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.3.3

$- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Passaggio 5.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 - \frac{6}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{6}{x} + 4$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{6}{x} + 4$ .

$- \frac{6}{x} + 4$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{6}{x} + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{6}{x} = - 4$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- \frac{6}{x} = - 4$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{6}{x} = - 4$ per $x$ .

$- \frac{6}{x} x = - 4 x$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 = - 4 x$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 x = - 6$ .

$- 4 x = - 6$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 6$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 6$ .

$x = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{6}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{6}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{2^{2}}}$

Passaggio 10.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$6 (\frac{4}{9})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{4}{9}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{4}{3})$

Passaggio 10.4

$2$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{3}$

Passaggio 11

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 12.2.1.3

Semplifica $- 6 \ln (\frac{3}{2})$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln ({(\frac{3}{2})}^{6})$

Passaggio 12.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{3^{6}}{2^{6}})$

Passaggio 12.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{2^{6}})$

Passaggio 12.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Passaggio 12.2.2

La risposta finale è $6 - \ln (\frac{729}{64})$ .

$y = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$ .

$(\frac{3}{2}, 6 - \ln (\frac{729}{64}))$ è un minimo locale

Passaggio 14