Calcolo Esempi

$y = - 5 x + e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = - 5 x + e^{x}$ come funzione.

$f (x) = - 5 x + e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 5 + e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 + e^{x}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 5 + e^{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 5 + e^{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 + e^{x}$ .

$- 5 + e^{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 5 + e^{x} = 0$ .

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Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 5 + e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 5$

Passaggio 6.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Passaggio 6.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Passaggio 6.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Passaggio 6.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (5)$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \ln (5)$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \ln (5)$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$e^{\ln (5)}$

Passaggio 10

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$5$

Passaggio 11

$x = \ln (5)$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \ln (5)$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \ln (5)$ .

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Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (5)$ nell'espressione.

$f (\ln (5)) = - 5 \ln (5) + e^{\ln (5)}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.2.1.1

Semplifica $- 5 \ln (5)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (5)) = - \ln (5^{5}) + e^{\ln (5)}$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (\ln (5)) = - \ln (3125) + e^{\ln (5)}$

Passaggio 12.2.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5)) = - \ln (3125) + 5$

Passaggio 12.2.2

La risposta finale è $- \ln (3125) + 5$ .

$y = - \ln (3125) + 5$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 5 x + e^{x}$ .

$(\ln (5), - \ln (3125) + 5)$ è un minimo locale

Passaggio 14