Calcolo Esempi

$y = - \cos (4 x - π)$

Passaggio 1

Scrivi $y = - \cos (4 x - π)$ come funzione.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (4 x - π)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\sin (4 x - π)$ per $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Passaggio 2.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $4$ e $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Passaggio 2.3.8.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (4 x - π)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 3.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Passaggio 5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (4 x - π) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (4 x - π) = 0$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin (4 x - π)$ per $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$4 x - π = 0$

Passaggio 8

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = π$

Passaggio 9

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x - π = π - 0$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$4 x - π = π$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = π + π$

Passaggio 11.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$4 x = 2 π$

Passaggio 11.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2 π$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 11.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 11.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 12

La soluzione dell'equazione $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi l'espressione.

$16 \cos (π - π)$

Passaggio 14.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$16 \cos (0)$

Passaggio 14.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$16 \cdot 1$

Passaggio 14.4

Moltiplica $16$ per $1$ .

$16$

Passaggio 15

$x = \frac{π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Passaggio 16.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Passaggio 16.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 16.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Passaggio 16.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Passaggio 18.1.2

Elimina il fattore comune.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Passaggio 18.1.3

Riscrivi l'espressione.

$16 \cos (2 π - π)$

Passaggio 18.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Passaggio 18.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$16 (- \cos (0))$

Passaggio 18.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 18.5

Moltiplica $16 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$16 \cdot - 1$

Passaggio 18.5.2

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$- 16$

Passaggio 19

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Passaggio 20.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Passaggio 20.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Passaggio 20.2.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Passaggio 20.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Passaggio 20.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 20.2.5

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 20.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 20.2.6

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{2}, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 22