Calcolo Esempi

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ come funzione.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 250$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ rispetto a $x$ è $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 25}$ come ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Passaggio 2.2.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Passaggio 2.2.7

Somma $2 x$ e $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $- 2$ per $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$500$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ e $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.7

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.16.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.16.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.17

Scomponi $x^{2} + 25$ da ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.17.1

Scomponi $x^{2} + 25$ da ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.17.2

Scomponi $x^{2} + 25$ da $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.17.3

Scomponi $x^{2} + 25$ da $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.18

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.19.1

Scomponi $x^{2} + 25$ da ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.20

$500$ e $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 3$ per $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $500$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.4.2.3

Somma $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $500$ da $- 1500 x^{2} + 12500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $500$ da $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $500$ da $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $500$ da $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $25$ come $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 25)$ come $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 250$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ rispetto a $x$ è $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 25}$ come ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 5.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 5.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Passaggio 5.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Passaggio 5.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Passaggio 5.1.2.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Passaggio 5.1.2.7

Somma $2 x$ e $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 5.1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Passaggio 5.1.2.9

Moltiplica $- 2$ per $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Passaggio 5.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

$500$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Passaggio 5.1.3.2.2

$\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ e $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 5, - 1.47798871$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $3$ per $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Sottrai $25$ da $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $25$ e $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $50$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Passaggio 10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $500$ per $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $25000$ e $125000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $25000$ da $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $25000$ da $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{5}$

Passaggio 11

$x = - 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 5$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Passaggio 12.2.1.1.2

Somma $25$ e $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Passaggio 12.2.1.2

Dividi $250$ per $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $5$ da $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.47798871$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 1.47798871$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $3$ per $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Sottrai $25$ da $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Eleva $- 1.47798871$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Somma $2.18445063$ e $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Eleva $27.18445063$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $500$ per $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Passaggio 14.3.2

Dividi $- 9223.32404202$ per $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Passaggio 14.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Passaggio 15

$x = - 1.47798871$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.47798871$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 1.47798871$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.47798871$ nell'espressione.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Eleva $- 1.47798871$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Passaggio 16.2.1.1.2

Somma $2.18445063$ e $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Passaggio 16.2.1.2

Dividi $250$ per $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $9.19643377$ da $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ è un massimo locale

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ è un minimo locale

Passaggio 18