Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9$ , $(- 3, 5)$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 3, 5]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9 d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \int_{- 3}^{5} x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 12

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 48$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 14

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Passaggio 15

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $5$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 ((\frac{5^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Passaggio 16.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Passaggio 16.3

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Passaggio 16.4

Calcola $9 x$ per $5$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625 - 81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.4

Sottrai $81$ da $625$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{544}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.5

Elimina il fattore comune di $544$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.5.1

Scomponi $4$ da $544$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 (1)}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{136}{1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.5.2.4

Dividi $136$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \cdot 136 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.6

Moltiplica $2$ per $136$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.8

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.9

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.9.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.9.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.10

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.11

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.12

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.14.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 27}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.14.2

Somma $125$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{152}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.15

$- 6$ e $\frac{152}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 6 \cdot 152}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.16

Moltiplica $- 6$ per $152$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 912}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.17

Elimina il fattore comune di $- 912$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.17.1

Scomponi $3$ da $- 912$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.17.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 (1)} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 \cdot 1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 304}{1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.17.2.4

Dividi $- 304$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 304 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.18

Sottrai $304$ da $272$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.19

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.20

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{25 - 9}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.22

Sottrai $9$ da $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{16}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.23

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.23.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.23.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{8}{1}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.23.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \cdot 8 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.24

Moltiplica $- 48$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 384 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.25

Sottrai $384$ da $- 32$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.26

Moltiplica $9$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 - 9 \cdot - 3)$

Passaggio 16.5.27

Moltiplica $- 9$ per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 + 27)$

Passaggio 16.5.28

Somma $45$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 72)$

Passaggio 16.5.29

Somma $- 416$ e $72$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 344)$

Passaggio 17

Somma $5$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot - 344$

Passaggio 18

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Scomponi $8$ da $- 344$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 (- 43))$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 43)$

Passaggio 18.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = - 43$

Passaggio 19