Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Passaggio 1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\sqrt[3]{x}$

Passaggio 1.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Passaggio 6.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Passaggio 6.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Passaggio 6.2.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 6.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Passaggio 6.2.9

Sottrai $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Passaggio 6.2.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

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Passaggio 6.2.10.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 6.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.10.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Passaggio 6.2.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$A (x) = 0$

Passaggio 9