Calcolo Esempi

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.4

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $- x^{2}$ per $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.4

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.6

$\frac{- 4}{3}$ e $x$ .

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ e $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 2 x - \frac{4}{3}$ e $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6