Calcolo Esempi

$g' (x) = \sqrt{5 x}$

Passaggio 1

La funzione $g (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $g' (x)$ .

$g (x) = \int g' (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

La funzione $g$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$g (x) = \frac{2}{15} \cdot {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$