Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = - 64$

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 64 = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Imposta $x^{2} - 4 x + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2} - 4 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Risolvi $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ vera.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Intervallo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6