Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ .

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Passaggio 2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ e $c = x^{2} + 46 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Riscrivi ${(- 8 x + 180)}^{2}$ come $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Espandi $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.4

Moltiplica $180$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 8$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.1.6

Moltiplica $180$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3.2

Sottrai $1440 x$ da $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Scomponi $4$ da $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Scomponi $4$ da $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Scomponi $4$ da $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.3

Scomponi $4$ da $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 46 - x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.1.3.2

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.2

Sottrai $x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.3

Somma $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8.4

Sottrai $46$ da $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Riscrivi ${(- 8 x + 180)}^{2}$ come $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.2

Espandi $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.4

Moltiplica $180$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 8$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.1.6

Moltiplica $180$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5.3.2

Sottrai $1440 x$ da $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6

Scomponi $4$ da $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Scomponi $4$ da $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.2

Scomponi $4$ da $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.3

Scomponi $4$ da $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 46 - x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.1.3.2

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.2

Sottrai $x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.3

Somma $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.4

Sottrai $46$ da $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $2$ da $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 6.4.4

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Passaggio 6.4.5

Scomponi $2$ da $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Passaggio 6.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Passaggio 6.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Passaggio 6.4.6.4

Dividi $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ per $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Riscrivi ${(- 8 x + 180)}^{2}$ come $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.2

Espandi $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.4

Moltiplica $180$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 8$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.1.6

Moltiplica $180$ per $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5.3.2

Sottrai $1440 x$ da $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6

Scomponi $4$ da $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Scomponi $4$ da $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.2

Scomponi $4$ da $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.3

Scomponi $4$ da $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 46 - x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.1.3.2

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.2

Sottrai $x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.3

Somma $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8.4

Sottrai $46$ da $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 7.4.2

Scomponi $2$ da $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 7.4.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Passaggio 7.4.4

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Passaggio 7.4.5

Scomponi $2$ da $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Passaggio 7.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Passaggio 7.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Passaggio 7.4.6.4

Dividi $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ per $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Passaggio 9

Imposta il radicando in $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Passaggio 10.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10.3

Sostituisci i valori $a = 15$ , $b = - 719$ e $c = 8054$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Eleva $- 719$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.4.1.2.2

Moltiplica $- 60$ per $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.4.1.3

Sottrai $483240$ da $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Eleva $- 719$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.5.1.2.2

Moltiplica $- 60$ per $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.5.1.3

Sottrai $483240$ da $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1.1

Eleva $- 719$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.6.1.2.2

Moltiplica $- 60$ per $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.6.1.3

Sottrai $483240$ da $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 10.6.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.7

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 10.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.9.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Passaggio 10.9.1.3

Il lato sinistro di $8054$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.9.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 20$

Passaggio 10.9.2.2

Sostituisci $x$ con $20$ nella diseguaglianza originale.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Passaggio 10.9.2.3

Il lato sinistro di $- 326$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 33$

Passaggio 10.9.3.2

Sostituisci $x$ con $33$ nella diseguaglianza originale.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Passaggio 10.9.3.3

Il lato sinistro di $662$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Vero

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Vero

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Vero

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Vero

Passaggio 10.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ o $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Passaggio 11

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Passaggio 12

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Passaggio 13

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Intervallo: $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Passaggio 14