Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (2 y - 1) = 2 x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Passaggio 3.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{2 x} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{2 x} + 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Semplifica $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $2 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $e^{2 x}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Passaggio 5.3.5

Usa le regole del logaritmo per togliere $2 x$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Passaggio 5.3.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$