Calcolo Esempi

$x = \frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $t$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = e^{8 t}$ e $g (t) = 4 t + 5$ .

$2 \frac{(4 t + 5) \frac{d}{d t} [e^{8 t}] - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 8 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 t$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{u} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 t$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \frac{d}{d t} [t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \cdot 1) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} \cdot 8 - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Sposta $8$ alla sinistra di $(4 t + 5) e^{8 t}$ .

$2 \frac{8 \cdot ((4 t + 5) e^{8 t}) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t + 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + 0)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.9.1

Somma $4$ e $0$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} \cdot 4}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.3

$2$ e $\frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$ .

$\frac{2 (8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((8 (4 t) + 8 \cdot 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t} + 8 \cdot 5 e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{2 (32 t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.2

Moltiplica $32$ per $2$ .

$\frac{64 (t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.3

Moltiplica $8$ per $5$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 2 (40 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Moltiplica $40$ per $2$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} - 8 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Sottrai $8 e^{8 t}$ da $80 e^{8 t}$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Riordina i termini.

$\frac{64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6

Scomponi $8 e^{8 t}$ da $64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Scomponi $8 e^{8 t}$ da $64 e^{8 t} t$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6.2

Scomponi $8 e^{8 t}$ da $72 e^{8 t}$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6.3

Scomponi $8 e^{8 t}$ da $8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$