Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , $[- 2, 6]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 2, 6]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} + 2 x + 10 d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} d x + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 \int_{- 2}^{6} x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + 10 x]_{- 2}^{6})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6}$ e $10 x]_{- 2}^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $6$ e per $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Passaggio 11.2.2

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + 10 x$ per $6$ e per $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{4}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 1 \cdot 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.6

Sottrai $2$ da $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.7

Moltiplica $2$ per $16$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.8

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 216 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.9

$\frac{1}{3}$ e $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{216}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.10

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{72}{1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.10.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.11

Moltiplica $10$ per $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 60 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.12

Somma $72$ e $60$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.13

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.14

$\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{- 8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Passaggio 11.2.3.16

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20))$

Passaggio 11.2.3.17

Per scrivere $- 20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3}))$

Passaggio 11.2.3.18

$- 20$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3}))$

Passaggio 11.2.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 20 \cdot 3}{3})$

Passaggio 11.2.3.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.20.1

Moltiplica $- 20$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 60}{3})$

Passaggio 11.2.3.20.2

Sottrai $60$ da $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 68}{3})$

Passaggio 11.2.3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Passaggio 11.2.3.22

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + 1 (\frac{68}{3}))$

Passaggio 11.2.3.23

Moltiplica $\frac{68}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Passaggio 11.2.3.24

Per scrivere $132$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3})$

Passaggio 11.2.3.25

$132$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3})$

Passaggio 11.2.3.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3 + 68}{3})$

Passaggio 11.2.3.27

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.27.1

Moltiplica $132$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{396 + 68}{3})$

Passaggio 11.2.3.27.2

Somma $396$ e $68$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{464}{3})$

Passaggio 11.2.3.28

Per scrivere $32$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{464}{3})$

Passaggio 11.2.3.29

$32$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{464}{3})$

Passaggio 11.2.3.30

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3 + 464}{3})$

Passaggio 11.2.3.31

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.31.1

Moltiplica $32$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{96 + 464}{3})$

Passaggio 11.2.3.31.2

Somma $96$ e $464$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{560}{3})$

Passaggio 12

Somma $6$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{560}{3}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $8$ da $560$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (70)}{3}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 70}{3}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{70}{3}$

Passaggio 14