Calcolo Esempi

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $p (x)$ è continua su $[0, 10]$ o no, calcola il dominio di $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Passaggio 1.2.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 72$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Eleva $72$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Sottrai $8$ da $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Riscrivi $5176$ come $2^{2} \cdot 1294$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Eleva $72$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.3

Sottrai $8$ da $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.4

Riscrivi $5176$ come $2^{2} \cdot 1294$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.6.5

Riscrivi $- 36$ come $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.6.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Passaggio 1.2.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Passaggio 1.2.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Eleva $72$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.3

Sottrai $8$ da $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.4

Riscrivi $5176$ come $2^{2} \cdot 1294$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Passaggio 1.2.7.3

Semplifica $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.7.5

Riscrivi $- 36$ come $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Passaggio 1.2.7.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Passaggio 1.2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.8

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 38$

Passaggio 1.2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 38$ nella diseguaglianza originale.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Passaggio 1.2.10.1.3

Il lato sinistro di $153$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Passaggio 1.2.10.2.3

Il lato sinistro di $- 197$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Passaggio 1.2.10.3.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Vero

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Vero

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Vero

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Vero

Passaggio 1.2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ o $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Passaggio 2

$p (x)$ è continua su $[0, 10]$ .

$p (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $p$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Passaggio 5.2

Somma $10$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{10}$ e $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Passaggio 7