Calcolo Esempi

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $g (x)$ è continua su $[0, 2]$ o no, calcola il dominio di $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + x^{3}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + x^{3} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} \geq - 1$

Passaggio 1.2.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Risolvi $x^{2} - x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq - 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 1}$

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 1}$

Passaggio 2

$g (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

$g (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $g$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x^{3}$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 5.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Passaggio 6

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Passaggio 10.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Passaggio 10.2.10

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Passaggio 10.2.11

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Passaggio 10.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Passaggio 10.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.13.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Passaggio 10.2.13.2

Sottrai $2$ da $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Passaggio 10.2.14

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Passaggio 10.2.15

Moltiplica $3$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Passaggio 11.2

Somma $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Passaggio 13