Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x - x^{2} d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 11.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 (0)}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Passaggio 11.2.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.3.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Passaggio 11.2.3.11

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{1 + 1}{3})$

Passaggio 11.2.3.13

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{2}{3})$

Passaggio 11.2.3.14

Sottrai $\frac{2}{3}$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (- \frac{2}{3})$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Passaggio 13.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 13.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 15