Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Passaggio 13.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Passaggio 13.3

Calcola $3 x$ per $2$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.7

Somma $8$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.8

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.8.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.8.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.8.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.11.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.13

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.14

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.16.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.16.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.17

$5$ e $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.18

Moltiplica $5$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.19

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.20

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.22.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.22.2

Somma $12$ e $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.23

Moltiplica $3$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

Passaggio 13.4.24

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

Passaggio 13.4.25

Somma $6$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

Passaggio 13.4.26

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 13.4.27

$9$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.4.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.4.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.29.1

Moltiplica $9$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

Passaggio 13.4.29.2

Somma $27$ e $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

Passaggio 14

Somma $2$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $3$ da $45$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{15}{2}$

Passaggio 16