Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 1}$ , $[0, 24]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 24]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 1}$

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 1}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 24]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} \sqrt{x + 1} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Passaggio 5.5

Somma $24$ e $1$ .

$u_{upper} = 25$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $25$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.5

$\frac{2}{3}$ e $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2$ per $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 8.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250 - 2}{3})$

Passaggio 8.2.10

Sottrai $2$ da $250$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{248}{3})$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot \frac{248}{3}$

Passaggio 9.2

Somma $24$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot \frac{248}{3}$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $8$ da $24$ .

$A (x) = \frac{1}{8 (3)} \cdot \frac{248}{3}$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $8$ da $248$ .

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Passaggio 10.1.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Passaggio 11