Calcolo Esempi

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{(y - 1) (y^{2} - y)} d y$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y (y^{2} - y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Passaggio 4

Riordina $y$ e $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Passaggio 5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1 + 2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 7

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 8

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y \cdot y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 10

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y^{1}) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{1 + 1} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + 1 y} d y$

Passaggio 12.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + y} d y$

Passaggio 13

Sottrai $1 y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Passaggio 14

Dividi $y^{3} - y - 1$ per $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

Passaggio 14.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y^{3}$ .

									$1$
	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$

Passaggio 14.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

Passaggio 14.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{3} - 2 y^{2} + y + 0$

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$

Passaggio 14.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$
									+	$2 y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Passaggio 14.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Passaggio 15

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$y + C + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Passaggio 17

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} + y}$

Passaggio 17.1.1.1.2

Scomponi $y$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y}$

Passaggio 17.1.1.1.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y^{1}}$

Passaggio 17.1.1.1.4

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 1}$

Passaggio 17.1.1.1.5

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1}$

Passaggio 17.1.1.1.6

Scomponi $y$ da $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1)}$

Passaggio 17.1.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1^{2})}$

Passaggio 17.1.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Passaggio 17.1.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 17.1.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y {(y - 1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) ({(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.6

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.6.2

Dividi $2 y^{2} - 2 y - 1$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.1.2

Dividi $A ({(y - 1)}^{2})$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ({(y - 1)}^{2}) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.2

Riscrivi ${(y - 1)}^{2}$ come $(y - 1) (y - 1)$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ((y - 1) (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.3

Espandi $(y - 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y (y - 1) - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.4.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4.1.4

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.4.2

Sottrai $y$ da $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 2 y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + A (- 2 y) + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.6.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.7

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{B (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.7.2

Dividi $(B) (y)$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + (B) (y) + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.8

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ e $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.8.1

Scomponi $y - 1$ da $(C) (y {(y - 1)}^{2})$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{y - 1}$

Passaggio 17.1.7.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.7.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Passaggio 17.1.7.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Passaggio 17.1.7.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{C (y (y - 1))}{1}$

Passaggio 17.1.7.8.2.4

Dividi $C (y (y - 1))$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y (y - 1))$

Passaggio 17.1.7.9

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Passaggio 17.1.7.10

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} + y \cdot - 1)$

Passaggio 17.1.7.11

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - 1 \cdot y)$

Passaggio 17.1.7.12

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - y)$

Passaggio 17.1.7.13

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} + C (- y)$

Passaggio 17.1.7.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} - C y$

Passaggio 17.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.8.1

Sposta $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Passaggio 17.1.8.2

Riordina $B$ e $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Passaggio 17.1.8.3

Sposta $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + B y + C y^{2} - C y + A$

Passaggio 17.1.8.4

Sposta $B y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + C y^{2} + B y - C y + A$

Passaggio 17.1.8.5

Sposta $- 2 y A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + C y^{2} - 2 y A + B y - C y + A$

Passaggio 17.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + C$

Passaggio 17.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 17.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A$

Passaggio 17.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

Passaggio 17.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = - 1$ .

$A = - 1$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 17.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + C$ con $- 1$ .

$2 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 17.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 17.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = - 2 A + B - 1 C$ con $- 1$ .

$- 2 = - 2 \cdot - 1 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 = 2 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.2.4.1.2

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.3

Risolvi per $C$ in $2 = - 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + C = 2$ .

$- 1 + C = 2$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 2 + 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 2 = 2 + B - C$ con $3$ .

$- 2 = 2 + B - (3)$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.4.2.1

Semplifica $2 + B - (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 = 2 + B - 3$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.4.2.1.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.5

Risolvi per $B$ in $- 2 = B - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $B - 1 = - 2$ .

$B - 1 = - 2$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 2 + 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.5.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Passaggio 17.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 C = 3 A = - 1$

Passaggio 17.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, C = 3, A = - 1$

Passaggio 17.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 17.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 17.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C + \int - \frac{1}{y} - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C + \int - \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C - \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 20

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 21

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 22

Sia $u_{1} = y - 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sia $u_{1} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 22.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 22.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 22.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 22.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 22.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 23

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 23.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 23.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 23.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 24

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Passaggio 25

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y - 1} d y$

Passaggio 26

Sia $u_{2} = y - 1$ . Allora $d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Sia $u_{2} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 26.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 26.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 26.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 26.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 26.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 27

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 28

Semplifica.

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 29

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 29.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| y - 1 |) + C$