Calcolo Esempi

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[4, 9]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[4, 9]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Passaggio 5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $9$ e per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.5

Moltiplica $2$ per $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.6.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.8

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.11

Moltiplica $2$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Passaggio 8.2.2.12

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Passaggio 8.2.2.13

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Passaggio 8.2.2.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Passaggio 8.2.2.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.15.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Passaggio 8.2.2.15.2

Sottrai $16$ da $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Passaggio 8.2.2.16

$6$ e $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Passaggio 8.2.2.17

Moltiplica $6$ per $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Passaggio 8.2.2.18

Elimina il fattore comune di $228$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.18.1

Scomponi $3$ da $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Passaggio 8.2.2.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.18.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Passaggio 8.2.2.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Passaggio 8.2.2.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Passaggio 8.2.2.18.2.4

Dividi $76$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Passaggio 9

Sottrai $4$ da $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Passaggio 10

$\frac{1}{5}$ e $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Passaggio 11