Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 2 π]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = 5 \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\csc (x)$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x \neq π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Notazione intensiva:

${x | x \neq π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Calcola $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ per $2 π$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Passaggio 7.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.2.1

Riscrivi $\csc (2 π)$ in termini di seno e coseno.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.2.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.3.1

Riscrivi $\csc (0)$ in termini di seno e coseno.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.4

Elimina il fattore comune di $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

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Passaggio 7.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Passaggio 7.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Passaggio 7.3.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $5$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Passaggio 8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Passaggio 8.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{2 π}$ per $0$ .

$A (x) = 0$

Passaggio 10