Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $1$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Passaggio 11.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} + 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.5

Somma $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.6

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 11.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 11.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 11.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - 0))$

Passaggio 11.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} + 0))$

Passaggio 11.2.3.12

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.3.13

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 3}{3})$

Passaggio 11.2.3.14

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.14.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3})$

Passaggio 11.2.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})$

Passaggio 11.2.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})$

Passaggio 11.2.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 1}{1})$

Passaggio 11.2.3.14.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 1)$

Passaggio 11.2.3.15

Sottrai $1$ da $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0)$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Passaggio 13

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot 0$

Passaggio 13.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$A (x) = 0$

Passaggio 14