Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - x$ , $[- 1, 4]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} - x d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} x d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}))$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

Passaggio 11.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64 + 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.7

Somma $64$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{65}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.8

$3$ e $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.9

Moltiplica $3$ per $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{195}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10

Elimina il fattore comune di $195$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $195$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10.2.4

Dividi $65$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.11

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.12.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{1}{2}))$

Passaggio 11.2.3.14

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Passaggio 11.2.3.15

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Passaggio 11.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2})$

Passaggio 11.2.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.17.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{16 - 1}{2})$

Passaggio 11.2.3.17.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{15}{2})$

Passaggio 11.2.3.18

Per scrivere $65$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2})$

Passaggio 11.2.3.19

$65$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2})$

Passaggio 11.2.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2 - 15}{2})$

Passaggio 11.2.3.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.21.1

Moltiplica $65$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{130 - 15}{2})$

Passaggio 11.2.3.21.2

Sottrai $15$ da $130$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{115}{2})$

Passaggio 12

Somma $4$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{115}{2}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $5$ da $115$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (23)}{2}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 23}{2}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{23}{2}$

Passaggio 14