Calcolo Esempi

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 5]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Passaggio 7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Passaggio 8

Sia $u = - 0.04 x$ . Allora $d u = - 0.04 d x$ , quindi $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = - 0.04 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 0.04$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.04 x$ rispetto a $x$ è $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 0.04$ per $1$ .

$- 0.04$

Passaggio 8.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 0.04$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Passaggio 8.5

Moltiplica $- 0.04$ per $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Passaggio 9.2

${2.71828182}^{u}$ e $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{0.04}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.04}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{0.04}$ e $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Passaggio 13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Passaggio 14

L'integrale di ${2.71828182}^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ e $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Passaggio 15.2

Sposta $8$ alla sinistra di $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola $29 x$ per $5$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Passaggio 16.2

Calcola $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ per $- 0.2$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Moltiplica $29$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.2

Moltiplica $- 29$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.3

Somma $145$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.5

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.6

Riscrivi $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ come un prodotto.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.7

Moltiplica $\frac{1}{1.22140275}$ per $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.8

Moltiplica $1.22140275$ per $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 16.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Dividi $1$ per $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.2

Per scrivere $0.81873075$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.4.1

Moltiplica $0.81873075$ per $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.4.2

Sottrai $1$ da $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.7

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $2.71828182$ è approssimativamente $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.8

Dividi $0.18126924$ per $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Passaggio 17.1.1.9

Moltiplica $- 1$ per $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $8$ per $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Passaggio 17.1.3

Dividi $- 1.45015397$ per $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Passaggio 17.2

Somma $145$ e $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Passaggio 18

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Passaggio 18.2

Somma $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Passaggio 19

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

$\frac{1}{5}$ e $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Passaggio 19.2

Dividi $181.25384939$ per $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Passaggio 20