Calcolo Esempi

$y = x + e^{- 5 x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x + e^{- 5 x}$ come funzione.

$f (x) = x + e^{- 5 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Passaggio 2.2.5

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 5 e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Passaggio 3.2.6

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = 0 + 25 e^{- 5 x}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $25 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 5.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 5.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = 1 - 5 e^{- 5 x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - 5 e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ .

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $e^{- 5 x}$ per $1$ .

$e^{- 5 x} = \frac{- 1}{- 5}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$e^{- 5 x} = \frac{1}{5}$

Passaggio 6.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Espandi $\ln (e^{- 5 x})$ spostando $- 5 x$ fuori dal logaritmo.

$- 5 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 6.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- 5 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 6.6

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Passaggio 6.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Passaggio 6.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$25 e^{- 5 (- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5})}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ nel numeratore.

$25 e^{- 5 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$25 e^{5 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Passaggio 10.1.3

Elimina il fattore comune.

$25 e^{5 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi l'espressione.

$25 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{5}))}$

Passaggio 10.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$25 e^{1 \ln (\frac{1}{5})}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\ln (\frac{1}{5})$ per $1$ .

$25 e^{\ln (\frac{1}{5})}$

Passaggio 10.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$25 (\frac{1}{5})$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$5 (5) \frac{1}{5}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 5 \frac{1}{5}$

Passaggio 10.4.3

Riscrivi l'espressione.

$5$

Passaggio 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{1}{5}))$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln ({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 12.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 12.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 12.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ nell'espressione.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) + e^{- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))}$

Passaggio 12.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}$

Passaggio 12.3.1.1.2

Semplifica $5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5})}$

Passaggio 12.3.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + {(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5}$

Passaggio 12.3.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1^{5}}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 12.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 12.3.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 12.3.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 12.3.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Passaggio 12.3.1.5.2

Calcola l'esponente.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Passaggio 12.3.2

La risposta finale è $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}, - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5})$ è un minimo locale

Passaggio 14