Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2$ , $[- 4, 0]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 4, 0]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3}$ per $0$ e per $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Passaggio 12.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0$ e per $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Passaggio 12.3

Calcola $2 x$ per $0$ e per $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot - 64) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.4

Moltiplica $- 64$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + 64 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.5

$64$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + \frac{64}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.6

Somma $0$ e $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.9

Elimina il fattore comune di $64$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.9.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 (32)}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.9.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.11.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.12

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{16}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.13

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.13.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.13.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{8}{1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.13.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 1 \cdot 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.14

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.15

Sottrai $8$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 \cdot - 8 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.16

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.17

Per scrivere $- 16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.18

$- 16$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.20.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 48}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.20.2

Sottrai $48$ da $32$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.22

Moltiplica $2$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 - 2 \cdot - 4)$

Passaggio 12.4.23

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 + 8)$

Passaggio 12.4.24

Somma $0$ e $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8)$

Passaggio 12.4.25

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 12.4.26

$8$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})$

Passaggio 12.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3})$

Passaggio 12.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.28.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 24}{3})$

Passaggio 12.4.28.2

Somma $- 16$ e $24$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{8}{3})$

Passaggio 13

Somma $0$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{3}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{3}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Passaggio 15