Calcolo Esempi

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

Passaggio 5

Espandi ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ come $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.5

Sposta $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.6

Sposta $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.7

Moltiplica $9$ per $9$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.9

Somma $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.10

Moltiplica $9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.11

Moltiplica $9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

Passaggio 5.12

Moltiplica $1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

Passaggio 5.13

Somma $9 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 7

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , sposta $81$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 10

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $18$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 12

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 14.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 14.3

Calcola $x$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.5

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.8

$81$ e $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.9

Moltiplica $81$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.14

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.16

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.17

$18$ e $\frac{2}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.18

Moltiplica $18$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.19

Elimina il fattore comune di $36$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.19.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.19.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.19.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.19.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.19.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.20

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.21

$12$ e $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.23.1

Moltiplica $12$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.23.2

Somma $162$ e $60$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

Passaggio 14.4.24

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

Passaggio 14.4.25

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 14.4.26

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

Passaggio 14.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

Passaggio 14.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.28.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

Passaggio 14.4.28.2

Somma $222$ e $10$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

Passaggio 15

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $2$ da $232$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

Passaggio 16.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{116}{5}$

Passaggio 17